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\author{René Zurbrügg}




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\title{Zusammenfassung NuS I}
\date{\today}


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\begin{document}
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\begin{multicols*}{4}
 \maketitle
	\section{Elektrostatik}
	\begin{tabular}{llll}
		\textbf{Elementarladung}        & $e  $             & $ +1.602\cdot 10^{-19}$ & $As$            \\
		\textbf{Dielektrizitätskonst.} & $\varepsilon_0  $ & $ 8.854\cdot 10^{-12}$  & $\frac{As}{Vm}$ \\
		\textbf{Magn. Permeabilität}   & $\mu_0  $         & $ 4\pi\cdot 10^{-7}$    & $\frac{Vs}{Am}$ \\
		\textbf{Ruhemasse Elektron}     & $m_{0,e}  $       & $ 9.1094\cdot 10^{-31}$ & $kg$            \\
		\textbf{Ruhemasse Proton}       & $m_{0,p}  $       & $ 1.6726\cdot 10^{-27}$ & $kg$            \\
		\textbf{Lichtgeschwindigkeit}   & $c_{Vak.}  $      & $ 2.99792\cdot 10^8$    & $\frac{m}{s}$   \\
	\end{tabular}



	\singlespacing
	\subsection{Ladungsdichten}
	\begin{itemize}
		\item \textit{Linienladungsdichte:} $\lambda=\frac{dQ}{dl}=\left[\frac{As}{m}\right], Q=\int_l\lambda dl$
		\item \textit{Flächenladungsdichte:} $\sigma=\frac{dQ}{dA}=\left[\frac{As}{m^2}\right], Q=\iint_A\sigma dA$
		\item \textit{Raumladungsdichte:} $\rho=\frac{dQ}{dV}=\left[\frac{As}{m^3}\right],Q=\iiint_V\rho dV$
	\end{itemize}

	\subsection{Grundgrössen}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{E-Feld einer Punktladung:} $\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} \quad [\frac{V}{m}]$
		\item \textbf{Kraft mehre. zweier Ladungen:} $\vec{F}=\frac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e_r} \quad [N]$
		\item \textbf{E-Feld Punktldgn:}
		      $\vec{E}(\vec{r_p})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\sum_k\frac{Q_k}{|\vec{r_p}-\vec{r_k}|^2}\frac{\vec{r_p}-\vec{r_k}}{|\vec{r_p}-\vec{r_k}|}$
		\item \textbf{E-Feld $\infty$-langer Leiter:} $E=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda}{r_\bot}$
		\item \textbf{Spannung, Innen-/Aussenleiter:} $\vec{E}(\rho)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon l}\frac{1}{\rho}\vec{e_{\rho}}$\\
		      $\displaystyle{U=\int_{r_1}^{r_2}{\vec{E}(\rho)}d\vec{\rho}=\int_{r_1}^{r_2}{\frac{Q}{2\pi\cdot\varepsilon\cdot l}\frac{1}{\rho}}d\rho}=\frac{Q}{2\pi\cdot\varepsilon\cdot l}\ln{\left| \frac{r_2}{r_1} \right|}$\\
		\item \textbf{Leckstrom:}
		      \\ $\displaystyle{I=\int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{l}{\vec{J}(\rho)\rho}dz}d\varphi=2\pi\kappa\rho
		      	l E(\rho)}$  $\Rightarrow E(\rho)=\frac{I}{2\pi\kappa l}\frac{1}{\rho}$
		\item \textbf{Elektr. Flussdichte }$\vec{D}(\vec{r})=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_r\cdot\vec{E}(\vec{r})=\varepsilon\cdot\vec{E}(\vec{r})\quad [\frac{As}{m^2}]$
	\end{itemize}

	\subsubsection{Arbeit \& Potential (1-33)}
	$W_{P_1\rightarrow P_2}=-\int_{P_1}^{P_2}{\vec{F}\cdot}d\vec{s}$ \dis{0.5} weg-unabhängig\\
	$W_{e}=-Q\int_{P_1}^{P_2}{\vec{E}\cdot}d\vec{s}=Q\left(\varphi(P_2)-\varphi(P_1)\right)=-U_{12}Q$\\
	$\rightarrow [W]=Ws=J, [P]=\frac{J}{s}=W$\\ \\
	\textbf{Potential:}\\
	Oftmals $P_{ref}=\infty$\\
	$\varphi(P_1)=\frac{W(P_{ref}\rightarrow P_1)}{Q_1}=-\int_{P_{ref}}^{P_1}{\vec{E}\cdot}d\vec{s} \quad [V]$
	\subsubsection{Spannung}
	$U_{12}=\varphi(P_1)-\varphi(P_2)=\int_{P_1}^{P_2}{\vec{E}\cdot}d\vec{s}=\frac{W_{12}}{Q}$
	\subsection{Das Gauss'sche Gesetz (1-45)}
	\begin{center}
		\eqbox{\oiint_A{\vec{D}}\cdot d\vec{A} = \iiint_{V_A}{\rho}\cdot dV=Q_{eff}  \rightarrow Q_{eff} = D\cdot A_{eff} }
	\end{center}

	E-Feldlinien von idealen Leitern, stehen senkrecht auf der Oberfläche.







	\subsection{Kondensator (1-61)}
	\begin{center}
		\eqbox{C=\frac{Q}{U}=\frac{\varoiint_A{\vec{D}\cdot}d\vec{A}}{\int_s{\vec{E}\cdot}d\vec{s}}=\frac{\varoiint_A{\sigma}dA}{\int_s{\vec{E}\cdot}d\vec{s}} \quad [F]=[\frac{As}{V}]}\\
	\end{center}
	Einfache Kondensatorentladung: $U=U_0e^{\frac{-t}{RC}}$
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Plattenkondensator:}\\
		      $E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{Q}{\varepsilon A},$ \dis{0.2} $U=Ed\rightarrow C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon A}{d}$\\ \\
		      Das Feld einer Platte ist $E/2$
		\item \textbf{Kugel(schalen)kondensator: (1-62)(1-73)}\\
		      \mbox{$U_{ab}=\int \limits_{r_i}^{r_a} \vec{E}\cdot d \vec{s} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}\int\limits_{r_i}^{r_a}{\frac{1}{r^2}}dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{r_a-r_i}{r_ar_i}=\frac{Q}{C}\rightarrow C=4\pi\varepsilon\frac{r_ir_a}{r_a-r_i}$}
		\item \textbf{Vielschichtenkondensator aus n Platten:}\\
		      $C_{ges}=(2n-1)C$
		\item \textbf{Zylinderkondensator}\\
		      $C = \frac{Q}{\int \limits_{R1}^{R2} \frac{Q}{2\pi l \varepsilon r d \vec{r}}} = \frac{2 \pi \varepsilon l}{\ln{ \frac{R_{2}}{R_{1}}}}$ \\
		      Für unendlich dünne Platten: $D=\sigma/2$
	\end{itemize}
	\subsection{Energie im E-Feld (1-70)(1-72)}
	\begin{center}
		\eqbox{W_e=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}CU^2=\iiint_V{\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}}dV}
	\end{center}
	\section{Elektr., stationäres Strömungsfeld}
	\subsection{Strom}
	$\displaystyle{I=\frac{dQ}{dt}=\iint_A{\vec{J}\cdot}d\vec{A} \simeq \pm J \cdot A,}$ \dis{0.2} $[I]=A,$ \dis{0.2} $\displaystyle{J=\frac{dI}{dA},}$ \dis{0.2} $\displaystyle{[J]=\frac{A}{m^2}}$\\
	Stat. Strömungsfeld, wenn $I$ konst.: $\varoiint_{A}{\vec{J}\cdot}d\vec{A} = 0$ (1-86)\\
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Spezifische Leitfähigkeit:}\\
		      Driftgeschw. $\vec{v}_{Drift}=-\mu_e\vec{E}$ wobei $\mu_e=$ "Beweglichkeit"\\
		      $\vec{J}=\vec{V}_{Drift}\rho=\vec{v}nq=\underbrace{-\rho\mu_e}_\kappa\vec{E},$ \dis{0.2} $\\ \kappa = (\mu_- q_- + \mu_+ q_+)  =$spez.Leitf.,
		      $[\kappa]=\frac{A}{Vm}=\frac{1}{\Omega m} $
		\item \textbf{Spezifischer Widerstand:} $\rho_R=\frac{1}{\kappa},$ $[\rho_R]=\Omega m=\frac{Vm}{A}$
		\item \textbf{Temperaturabhängigkeit:}\\
		      $\rho_R(T)=\rho_{R,20^\circ C}\left(1+\alpha(T-20^\circ C)\right)$
		\item \textbf{Ohmsches Gesetzt:} \eqbox{U=R\cdot I}, $[R]=\frac{V}{A}=\Omega$\\
		      $\vec{J}=\kappa\vec{E},$\dis{0.2} $R=\frac{U}{I}=\frac{l}{\kappa A}=\frac{\rho_R l}{A}=\frac{\int_S{\vec{E}\cdot}d\vec{s}}{\kappa\iint_A{\vec{E}\cdot}d\vec{A}}$
		\item \textbf{Leitwert:} \eqbox{G=\frac{1}{R}} $[G]=S$ (Siemens)
	\end{itemize}
	\subsection{Sprungstellen bei Materialübergängen (1-99)}
	\begin{itemize}
		\item \textit{Normalkomponenten.:} \eqbox{J_{n1=J_{n2}}},\eqbox{\kappa_1E_{n1}=\kappa_2E_{n2}}\\
		      Die Normalkomponente der Stromdichte ist stetig.
		\item \textit{Tangentialkomp.:} \eqbox{E_{t1}=E_{t2}},\eqbox{\frac{J_{t1}}{J_{t2}}=\frac{\kappa_1}{\kappa_2} = \frac{tan(\alpha_1)} {tan(\alpha_2)}}\\
		      $\alpha_i = $ Winkel zur Flächennormale, Die Tangentialkomponente des E-Feldes ist stetig.
	\end{itemize}
	\subsection{Energie und Leistung (1-102)}
	$\displaystyle{W_e=\int_{0}^{t}{P(\tau)}d\tau}$ und $P(t)=\frac{dW_e}{dt}$\\$P=UI=I^2R=U^2/R$\\
	\textbf{Verlustleistungsdichte:} $p_V=\frac{dP}{dV}=\vec{E}\cdot\vec{J}$\\
	$P=\iiint_V{p_V}dV=\iiint_V{\vec{E}\cdot\vec{J}}dV$
	\section{DC-Netzwerke}
	\subsection{Spannungs- und Stromquellen}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Ideale Quellen:}\\
		      \includegraphics[scale=0.2]{source/quellen.png}
		      %\item \textbf{Leistung:} $P=UI=RI^2=\frac{U^2}{R}$
		\item \textbf{Reale Stromquelle} Leerlaufspannung: $U_0=R_i\cdot I_0$
		\item \textbf{Reale Spannungsquelle} Kurzschlussstrom: $I_K=\frac{U_0}{R_i}$
		      \includegraphics[scale=0.25]{source/realeQuellen.png}\\
		      \textit{Umwandlung:} $_{[U-Quelle]}\,U_0=R_i\cdot I_0 \, _{[I-Quelle]}$
		\item \textbf{Kirchhoff'sche Maschenregel:} $\sum_{Masche}U_k=0$
		\item \textbf{Kirchhoff'sche Knotenregel:} $\sum_{Knoten}I_k=0$
		\item \textbf{Leistungsanpassung}\\
		      Die Leistung wird maximiert, wenn gilt: \eqbox{R_L=R_i}
	\end{itemize}

	\textbf{Wechselwirkung Quelle $\Leftrightarrow$ Verbraucher}
	\begin{itemize}
		\item Gleichmässige Energieabgabe ist nur bei identischen Quellen möglich.
		\item Leistungsabgabe von zusammengeschalteten Spannungsquellen ist unterschiedlich, wenn sie über versch. $R_i$ oder $U_L$ verfügen.
		\item Quellen können zu \textit{Verbrauchern} werden.
	\end{itemize}

	\subsection{Einfache Netzwerkberechnungen}
	\begin{tabular}{ll}
		\textbf{[R] Seriell:}  & $R_{ges}=\sum\limits_{k=1}^{n}{R_k}$                                                                           \\
		\textbf{[R] Parallel:} & $\frac{1}{R_{ges}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{R_k}}$ \quad $n=2\rightarrow R_{ges}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ \\
		\textbf{[C] Seriell:}  & $\frac{1}{C_{ges}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{C_k}}$ \quad $n=2\rightarrow C_{ges}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ \\
		\textbf{[C] Parallel:} & $C_{ges}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_k}$                                                                           \\
		\textbf{[L] Seriell:}  & $L_{ges}=\sum\limits_{k=1}^{n}{L_k}$                                                                           \\
		\textbf{[L] Parallel:} & $\frac{1}{L_{ges}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{L_k}}$ \quad $n=2\rightarrow L_{ges}=\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}$
	\end{tabular}

	\subsection{Spannungs-/Stromteiler}
	\includegraphics[scale=0.24]{source/teiler.png}\\
	\textbf{Belasteter Spannungsteiler:}\\
	$$R_{2}'=\frac{R_2R_L}{R_2+R_L}\rightarrow \frac{U_2}{U}=\frac{R_{2}'}{R_1+R_{2}'}=\frac{R_2R_L}{R_1(R_2+R_L)+R_2R_L}$$

	\subsection{Wirkungsgrad}
  \vspace{-0.13cm}
	$\eta=\frac{P_L}{P_{ges}}\cdot 100\%=\frac{I^2R_L}{I^2(R_i+R_L)}\cdot 100\%=\frac{R_L/R_i}{1+R_L/R_i}\cdot 100\%$
	Umgeformt (1-140): $\eta=\left(1-\frac{I}{I_{max}}\right)\cdot 100\%$\\
	Bei der Leistungsanpassung beträgt der Wirkungsgrad $50\%$.\\
	\subsection{Widerstandsmessung (1-131)}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Mit korrekter Spannungsmessung:}\\
		      $R=\frac{U_R}{I_R}=\frac{U_V}{I_A-I_V}=\frac{U_V}{I_A-U_V/R_V}=\frac{U_VR_V}{I_AR_V-U_V}$
		\item \textbf{Mit korrekter Strommessung:}\\
		      $R=\frac{U_R}{I_R}=\frac{U_V-U_A}{I_A}=\frac{U_V-R_AI_A}{I_A}$
	\end{itemize}

	\subsection{Superpositionsprinzip}
	Für jede Quelle das Netzwerk analysieren, die Anderen ausschalten, Resultate addieren.
	\begin{itemize}
		\item Spannungsquellen $\rightarrow$ Kurzschliessen
		\item Stromquellen $\rightarrow$ Leerlauf
	\end{itemize}


  \subsection{Stern-Dreieck-Transformation}
  \begin{center}
      \includegraphics[scale=0.13]{source/Stern-Dreieck-Transformation.png}
  \end{center}
    \vspace{-0.3cm}
    \begin{multicols*}{2}
      $\underline{R}_{AB}=\frac{\underline{R}_{A}\underline{R}_{B}+\underline{R}_{B}\underline{R}_{C}+\underline{R}_{A}\underline{R}_{C}}{\underline{R}_{C}}$\\
      $\underline{R}_{AC}=\frac{\underline{R}_{A}\underline{R}_{B}+\underline{R}_{B}\underline{R}_{C}+\underline{R}_{A}\underline{R}_{C}}{\underline{R}_{B}}$\\
      $\underline{R}_{BC}=\frac{\underline{R}_{A}\underline{R}_{B}+\underline{R}_{B}\underline{R}_{C}+\underline{R}_{A}\underline{R}_{C}}{\underline{R}_{A}}$\\
      $\underline{R}_A=\frac{\underline{R}_{AC}\underline{R}_{AB}}{\underline{R}_{AC}+\underline{R}_{AB}+\underline{R}_{BC}}$\\
      $\underline{R}_B=\frac{\underline{R}_{AB}\underline{R}_{BC}}{\underline{R}_{AC}+\underline{R}_{AB}+\underline{R}_{BC}}$\\
      $\underline{R}_C=\frac{\underline{R}_{AC}\underline{R}_{BC}}{\underline{R}_{AC}+\underline{R}_{AB}+\underline{R}_{BC}}$
    \end{multicols*}
    \vspace{-0.4cm}
    \textcolor{red}{Falls die Widersätnde gleich sind, gilt: $R_{Dreieck}=3R_{Stern}$}\\
    \vspace{-0.3cm}

    \textbf{Galvanisierung}\\
      \begin{minipage}[t]{0.24\linewidth}
        \includegraphics[scale=0.07]{source/galvan.png}
      \end{minipage}
      \begin{minipage}[t]{0.76\linewidth}
        \vspace{-1.6cm}
        $N_{Au}=\#\,Goldionen$\\
        $z= chemische\,Wertigkeit$\\
        $e=Elementarladung$\\
        $Q=z\cdot e\cdot N_{Au}$\\
        $I=\frac{Q}{t}=\frac{z\cdot e\cdot N_{Au}}{t},\dis{0.15}J=\frac{I}{A}, \dis{0.15}t=\frac{z\cdot e\cdot N_{Au}}{I}$\\
        $t :=$ Zeit, bis Goldio. an Metall angelagert
      \end{minipage}


          \textbf{Dotierung}\\
      \vspace{-0.1cm}
      \begin{minipage}[t]{0.45\columnwidth}
        \includegraphics[scale=0.06]{source/n-dot.png}\dis{.15}
        \includegraphics[scale=0.06]{source/p-dot.png}\\
        \textit{N-Dotierung}\dis{0.15}\textit{P-Dotierung}
      \end{minipage}
      \begin{minipage}[t]{0.55\columnwidth}
        \vspace{-1.25cm}
        \textit{N-Dot: mehr Phosphor desto mehr freie Elektronen, höhere Leitfähigkeit}\\
        $\vec{J}=n\cdot q\cdot\vec{v_s}$\\
        $n= Dotierungsdichte\,(wieviel\,Ato/cm^3)$\\
        $q=\pm e$\textit{ (+ bei P, - bei Al)}\\
        $\vec{v_s}=\textit{Geschw. der Ladungsträger}$\\
      \end{minipage}










\newpage

	\section{Magnetostatik}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Magnetfeld:} Feldlinien von N nach S (innen S $\rightarrow$ N)\\
		      Magnetfelder sind immer geschlossen.\\
		      \includegraphics[scale=0.15]{source/magnet.png}\dis{1}
		      \includegraphics[scale=0.18]{source/rightHand.png}
		\item \textit{Mag. Flussdichte eines Leiters:} $\vec{B}=\frac{\mu_o}{2\pi}\frac{I}{\rho}, \, [T]=[\frac{Vs}{m^2}]$\\
		      $\rho$ Abstand zum Leiter
		\item \textit{Mag. Feldstärke eines Leiters:} $\vec{H}=\frac{1}{\mu_0}\vec{B}=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\rho},[H]=\frac{A}{m}$
		\item \textit{Lorenzkraft (1-180):} $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}=I\vec{l}\times\vec{B}$
		\item \textit{F auf Ladung (1-183):} $\vec{F}_L=Q\cdot\vec{v}\times\vec{B}$\dis{0.2} $\vec{F}=Q\cdot(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$
	\end{itemize}
	\textbf{Analogie: Elektrisch, Magnetisch (1-209)}\\
	\begin{tabular}{|l|l|l|}
		\hline
		\textbf{Grösse} & \textbf{Elektrisch}                            & \textbf{Magnetisch}          \\
		\hline
		Leitfähigkeit   & $\kappa$                                       & $\mu$                        \\
		\hline
		Widerstand       & $R=\frac{1}{\kappa\cdot A}$                    & $R_m=\frac{1}{\mu\cdot A}$   \\
		\hline
		Spannung         & $U_{12}=\int_{P_1}^{P_2}\vec{E}\cdot d\vec{s}$ & \dis{-0.2}\begin{tabular}{l}
		$V_{m12}=\int_{P_1}^{P_2}\vec{H}\cdot d\vec{s}$ \\ $=R_{m12}\cdot\Phi_{12}$
	\end{tabular} \\
	\hline
	Strom/Fluss & \dis{-0.2}\begin{tabular}{l}
	$I=\iint_A\vec{J}\cdot d\vec{A}$ \\ $=\iint_A\vec{E}\cdot d\vec{A}$
	\end{tabular} & \dis{-0.2}\begin{tabular}{l}
	$\Phi=\iint_A\vec{B}\cdot d\vec{A}$ \\ $=\mu\iint_A\vec{H}\cdot d\vec{A}$
	\end{tabular} \\
	\hline
	Ohm. Gesetzt & $U=R\cdot I$ & $V_m=R_m\cdot\Phi$ \\
	\hline
	Maschengl. & $U_0=\sum_{Masche} U_M$ & $\Theta=\sum_{Masche}V_m$ \\
	\hline
	Knotengl. & $\sum_{Knoten}I=0$ & $\sum_{Knoten}\Phi=0$ \\
	\hline

	\end{tabular}
  \\
	\begin{tabular}{|l|c|c|}
		\hline
		\textbf{Feldgrössen}                & \dis{-0.2}\textbf{Elektrisch}          & \dis{-0.2}\textbf{Magnetisch}  \\
		\hline
		\dis{-0.2}Intensität/Wirkung(Kraft) & \dis{-0.2}$\vec{E}$                    & \dis{-0.2}$\vec{B}=\mu\vec{H}$ \\
		\hline
		\dis{-0.2}Quantität/Ursache(Ladung) & \dis{-0.2}$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$ & \dis{-0.2}$\vec{H}$            \\
		\hline
	\end{tabular}
	\subsection{Oersted'sches Gesetz (Durchfl.satz)(1-187)}
	\eqbox{N \cdot I_{eff}=\iint_A\vec{J}\cdot d\vec{A}=\Theta=\oint_{\partial A}\vec{H}\cdot d\vec{s}=\sum_k H_kl_k = \sum_k \frac{B_k}{\mu}l_k}\\
	$\Theta$ Durchflutung, $N$ Windungszahl\\
	Prinzip gilt insbesondere für $N=1$, sprich Einzelne Leiter
	\subsection{Verschiedene magnetische Komponenten}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{$\infty$-langer Leiter (1-189):}\\
		      $\vec{H}(\rho)=\vec{e}_\varphi\cdot\frac{I}{2\pi}\begin{cases} \rho/R^2 & \rho \leq R \\ 1/\rho & \rho \geq R \end{cases}$
		\item \textbf{Toroidspule (1-190):}\\
		      $NI=\Theta=\int_{0}^{2\pi}{\vec{e}_\varphi H_\varphi\rho}d\varphi=2\pi\rho H_\varphi(\rho)\rightarrow \vec{H}=\frac{NI}{2\pi\rho}\vec{e}_\varphi$
		\item \textbf{Reluktanzmodell:} $H=\frac{NI}{l}\vec{e}_x$
		\item \textbf{Spannung über Spule:} Wenn sich die Spule bewegt, gilt nach dem Induktionsgesetz: $U_s=N\cdot\frac{d\Phi}{dt}$\\
		      Dies vereinfacht sich zu: $U_s=l_s\cdot B\cdot v$ mit $l_s$: Leiterlänge im B-Feld, $v$: Geschwindigkeit mit der sich die Spule über den Kern bewegt.
	\end{itemize}
	\subsection{Reluktanzmodell (1-206)}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Magn. Spannung:} $V_m=\int_{P_1}^{P_2}{\vec{H}\cdot}d\vec{s}=\Theta=NI$\dis{0.2} $[\Theta]=A$
		\item \textbf{Magn. Strom:} $\Phi=\iint_A\vec{B}\cdot d\vec{A},$\dis{0.2} $[\Phi]=Vs=Wb$ (Weber)
		\item \textbf{Magn. Widerstand:} $R_m=\frac{l}{\mu A},$\dis{0.2} $[R_m]=\frac{1}{H}=\frac{A}{Vs}$
		\item \textbf{Magnetische spezifische Leitfähigkeit:} $\mu$
		\item \textbf{Magnetischer Leitwert:} $\Lambda_m=\frac{1}{R_m},$ \dis{0.2} $[\Lambda_m]=\frac{Vs}{A}$
		\item \textbf{Ohm'sches Gesetz:} $V_m=R_m\Phi,$\dis{0.2} $[V_m]=A$
	\end{itemize}
	\subsection{Magnetische Polarisation(1-199)}
	\textbf{Magnetische Polarisation:} $\vec{J_m}=\mu_0\mu_r\vec{H}-\mu_0\vec{H}$\\
	\textbf{Magnetisierung:} $\vec{M}=\mu_r\vec{H}-\vec{H}$\\
	\vspace{-0.5cm}
	\begingroup
	\begin{wrapfigure}{r}{0.12\textwidth}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.16]{source/hyst.png}
		\end{center}
	\end{wrapfigure}

	\mbox{\textbf{Diamagnetismus:}}\\
	\mbox{Materialien, die das B-Feld}\\
	\mbox{schwächen, $\mu_r<1$}\\ \\
	\textbf{Paramagnetismus:}\\
	Materialien, die das B-Feld\\
	leicht stärken,  $\mu_r>1$\\\\
	\mbox{\textbf{Ferromagnetismus:}} \\
	Nebenan die Hysteresekurve\\
	eines Ferrit Materials\\
	\textit{Remanenz:} oberer Schnittpunkt mit y-Achse, $\mu_r>>1$, $\mu_r$ nicht konstant\\\\
	\textbf{Dauermagnete:} Ferromagnetische Stoffe im Remanenzzustand.
	\endgroup
	\subsection{Sprungstellen bei Materialübergängen (1-205)}
	\begin{itemize}
		\item \textit{Normalkomponenten:} \eqbox{B_{n1}=B_{n2}},\eqbox{\frac{H_{n1}}{H_{n2}}=\frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}}
		\item \textit{Tangentialkomp.:} \eqbox{H_{t1}=H_{t2}},\eqbox{\frac{B_{t1}}{H_{t2}}=\frac{\mu_1}{\mu_2}=\frac{\tan(\alpha_1)}{\tan(\alpha_2)}}
	\end{itemize}
	\subsection{Induktivität (1-211)}
	$L=\frac{\Psi}{I}=\frac{N\Phi}{I}=\frac{N^2}{R_m},$\dis{0.3} $[L]=\frac{Vs}{A}=H$ (Henry)
	\begin{itemize}
  %   \itemsep-1.5em
		\item \textbf{$A_L$-Wert:} $L=N^2A_L=N^2\Lambda_m,$\dis{0.3} $A_L=\Lambda_m=\frac{1}{R_m}=[nH]$
		\item \textbf{Generell:} $\displaystyle   L \cdot I = N \cdot \oiint \vec{B}\cdot d\vec{A} \simeq N B\cdot A $
		\item \textbf{Toroidspule:} $L=\frac{\Phi}{I}=\frac{N\Phi_A}{I}=N^2\frac{\mu H}{2\pi}\ln\left(\frac{r_{aussen}}{r_{innen}}\right)$
		      $= {\mu  \cdot  \frac{A \cdot N^2}{l}}$
		\item \textbf{Luftspalt:} $L=N^2\frac{\mu_0\mu_{rel} A}{l_m\mu_{rel}d}\approx N^2\frac{\mu_0 A}{d}$\dis{0.2} $d$ Spaltgrösse
		\item \textbf{Kraft Magnetfeld:} $F_A=\frac{B^2}{2\mu_0}A$
	\end{itemize}
	\subsection{Induktion und Selbstinduktion(1-249)}
	\begin{itemize}

       %\itemsep-1.5em

		\item \textbf{Induktionsgesetz:} $\oint_s \vec{E} \cdot d\vec{s}=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\iint_A\vec{B}\cdot d\vec{A}$ \\
    Fluss gemäss rechte Hand Regel durch Kontur s zählen
		\item \textbf{Selbstinduktion:} $u_L(t)=L\frac{di_L}{dt}$ (vgl. $i_C=C\frac{du_c}{dt}$)
		\item \textbf{Energie:} $W_m=W_L=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}\Phi I=\iiint_V\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}dV$
	\end{itemize}
  \subsection{Bewegungsinduktion}
  \begin{itemize}
    \item \textbf{Induziertes E-Feld} $\vec{E_i} = \vec{v} \times \vec{B} \rightarrow u_{ind} = \int_{l(t)} \vec{E_i} \cdot d\vec{s}$  \\
    $\rightarrow u_{ind} \simeq l_{eff}(t) \cdot E \cdot v$ , \\ $l_{eff}(t)$ Länge des Leiters im Magnetfeld wo $\vec{v} \perp \vec{B}  $

    \item \textbf{Veränderliche Fläche} $u_{ind} \simeq \pm B\cdot \frac{d}{dt}\big(A(t)\big)$


  \end{itemize}

\vfill\null \columnbreak


\subsection{Transformatoren}
\begin{center}

  \includegraphics[scale=1]{source/trafo.png}
\end{center}
  \textbf{Gegeninduktivität} $ \displaystyle L_{12} = N_1 \cdot \frac{\phi_{12} }{i_2} \simeq L_{21} = M $ \\
  \textbf{Selbstinduktivität} $ \displaystyle L_{11} = N_1 \cdot \frac{\phi_{1} }{i_1} \simeq {N_1}^2 \mu \cdot \frac{A}{l} =\frac{N_1^2}{R_m}$ \\
  \textbf{Spannungskoppelung} \\
  $\bigg|
  \begin{array}{c} u_1 = L_{11} \frac{d}{dt}i_1 - M  \frac{d}{dt}i_2 \\
   u_2 = L_{22} \frac{d}{dt}i_2 - M  \frac{d}{dt}i_1
   \end{array} \shortto  \begin{array}{c} u_1 = [L_{11}-M] \frac{d}{dt}i_1 - M  \frac{d}{dt}(i_2-i_1) \\
    u_2 = [L_{22}-M] \frac{d}{dt}i_2 - M  \frac{d}{dt}(i_1-i_2)
    \end{array} $ \\
    \vspace{0.1cm} \\
    \textbf{Ersatzschaltbild}
      \vspace{-0.2cm}
    \begin{center}

      \includegraphics[scale=0.2]{source/trafo_esb_1.png}
    \end{center}
    \textbf{Koppelfaltor} $ k_{21} =  \frac{\phi_{21}}{\phi_{11}},  k_{12} =  \frac{\phi_{12}}{\phi_{22}} \rightarrow k = \frac{M}{\sqrt{L_{11}\cdto L_{22}}} $ \\
    \textbf{Übersetzungsverhältniss} $ \pm ü = \frac{u_p}{u_s} = \frac{N_p}{N_s} = {i_s}{i_p} $ \\
    $+$ Falls $\phi_1$ und $\phi_2$  entgegengesetzt fliessen, sonst $- $


    \subsection{nicht-idealer Übertrager}
        \includegraphics[width=1\columnwidth]{source/trafo_2_esb.png}

      \begin{enumerate}
        \item Kupfermaterial in den Windungen: $R_{11},\ R_{22}$
        \item Reluktanzverlust ($\mu_r\neq\infty$): ü$M$
        \item Streuung: Streuinduktivitäten, $L_{s1},\ L_{s2}$
      \end{enumerate}
      \textbf{Vereinfachende Annahmen:}
      \begin{itemize}
        \item \textbf{Verlustfrei:} $R_{11}=R_{22}=0$\dis{0.5} $R_h=\infty$
        \item \textbf{Streufrei:} $L_{11}-\ddot{u}M=0$\dis{0.5} $\ddot{u}^2L_{22}-\ddot{u}M=0$\\
        \item \textbf{Kern ideal:} $R_m=\infty$\dis{0.5} $\ddot{u}M=0$
      \end{itemize}
      \textbf{Koppelfaktor:} \eqbox{k=\frac{M}{\sqrt{L_{11}L_{22}}}}

    \textbf{Widerstandstransformation} \\$R_L$ hinter Transformator $\Rightarrow R_L = \frac{u_p}{i_p} = ü u_s \cdot \frac{ü}{i_s}=  ü^2 \cdot R$ ohne Transformator



\vfill \null \columnbreak
	\section{Allgemeines}


  Absoluter Fehler: $F = \Delta x = | x_{ist} - x_{mess}|$\\
  Relativer Fehler $ F_{rel} = \frac{\Delta x}{x_{ist}} \cdot 100 \%$ \\
  Kreis-Tangentengleichung:  $a=\frac{v^2}{r}$ \\
  Beschleunigung: $a=\frac{F}{m}$ \\
  Kugel: $V = \frac{4}{3}\pi r^3, A = 4 \pi r^2$ \\
  Kreis: $A = \pi r^2, U = 2 \pi r$\\
  Auftriebskraft = $Fa = \rho_{Luft}Vg$\\
  Karth. Koordinaten: $\vec{e}_\varphi  = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} ( -y \vec{e}_x + x \vec{e}_y)$


	\vspace{-0.1cm}
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline
		\textbf{}       & \textbf{Einheit} & \textbf{Bedeutung}                 \\
		\hline
		$\vec{B}$       & $Vs/m^2$         & Magnetische Flussdichte            \\
		\hline
		$C$             & $As/V=F$         & Kapazität                         \\
		\hline
		$\vec{D}$       & $As/m^2$         & Elektr. Flussdichte, el. Erregung  \\
		\hline
		$\vec{E}$       & $V/m$            & Elektrische Feldstärke            \\
		\hline
		G               & $1/\Omega=A/V$   & Elektr. Leitwert                   \\
		\hline
		$\vec{H}$       & $A/m$            & Magn. Feldstärke                  \\
		\hline
		$I$             & $A$              & Gleichstrom                        \\
		\hline
		$I_K$           & $A$              & Kurzschlussstrom                   \\
		\hline
		$i$             & $A$              & Zeitabhängiger Strom              \\
		\hline
		$\vec{J}$       & $A/m^2$          & (räuml. vert.) Stromdichte        \\
		\hline
		$\vec{J}$       & $Vs/m^2$         & Magn. Polarisation                 \\
		\hline
		$\vec{J}$       & $Vsm$            & Magn. Dipolmoment                  \\
		\hline
		$k$             &                  & Koppelfaktor                       \\
		\hline
		$L$             & $Vs/A$           & Induktivität                      \\
		\hline
		$\vec{M}$       & $A/m$            & Magnetisierung                     \\
		\hline
		$\vec{m}$       & $Am^2$           & Magnetisches Moment                \\
		\hline
		$N$             &                  & Windungszahl                       \\
		\hline
		$P$             & $VA=W$           & Leistung                           \\
		\hline
		$\vec{P}$       & $As/m^2$         & Dielektr. Polarisation             \\
		\hline
		$\vec{p}$       & $Asm$            & Elektr. Dipolmoment                \\
		\hline
		$Q$             & $As=C$           & Ladung, Punktladung                \\
		\hline
		$R$             & $V/A=\Omega$     & Ohmscher Widerstand                \\
		\hline
		$R_m$           & $A/Vs$           & Magn. Widerstand                   \\
		\hline
		$U$             & $V$              & Gleichspannung                     \\
		\hline
		$u$             & $V$              & Zeitlich veränderliche Spannung   \\
		\hline
		ü              &                  & Übersetzungsverhältnis           \\
		\hline
		$V_m$           & $A$              & Magnetische Spannung               \\
		\hline
		$W$             & $VAs=J$          & Energie                            \\
		\hline
		$w$             & $WAs/m^3$        & Energiedichte                      \\
		\hline
		$\Phi$          & $Vs$             & Magnetischer Fluss                 \\
		\hline
		$\Lambda_m$     & $Vs/A$           & Magnetischer Leitwert              \\
		\hline
		$\Theta$        & $A$              & Durchflutung                       \\
		\hline
		$\Psi$          & $As$             & Elektr. Fluss                      \\
		\hline
		$\chi$          &                  & Dielekt. \& magn. Suszeptibilität \\
		\hline
		$\varepsilon$   & $As/Vm$          & Dielektrizitätskonstante          \\
		\hline
		$\varepsilon_r$ &                  & Dielektrizitätszahl               \\
		\hline
		$\varphi$       &                  & Phasenwinkel                       \\
		\hline
		$\varphi_e$     & $V$              & Elektrostatisches Potential        \\
		\hline
		$\eta$          &                  & Wirkungsgrad                       \\
		\hline
		$\kappa$        & $A/Vm$           & Spezifische Leitfähigkeit         \\
		\hline
		$\lambda$       & $As/m$           & Linienladungsdichte                \\
		\hline
		$\mu$           & $Vs/Am$          & Permeabilität                     \\
		\hline
		$\mu_e$         & $m^2/Vs$         & Beweglichkeit der Ladungsträger   \\
		\hline
		$\rho$          & $As/m^3$         & Raumladungsdichte                  \\
		\hline
		$\rho_R$        & $Vm/A$           & Spezifischer Widerstand            \\
		\hline
		$\sigma$        & $As/m^2$         & Flächenladung                     \\
		\hline
		$\omega$        & $1/s\cdot 2\pi$  & Kreisfrequenz                      \\
		\hline
	\end{tabular}



	\vspace{-0.0cm}
  \begin{center}

	\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|}
		\hline
		\textbf{} & \textbf{Name} & \textbf{Wert}  & 	\textbf{} & \textbf{Name} & \textbf{Wert}  \\
		\hline
		$T$       & $Tera$        & $10^{12}$     &
		$p$       & $Piko$        & $10^{-12}$    \\
		\hline
		$G$       & $Giga$        & $10^{9}$      &
		$n$       & $nano$        & $10^{-9}$     \\
		\hline
		$M$       & $Mega$        & $10^{6}$      &
		$\mu$     & $Mikro$       & $10^{-6}$     \\
		\hline
		$k$       & $Kilo$        & $10^{3}$      &
		$m$       & $Mili$        & $10^{-3}$     \\
		\hline
		$h$       & $Hekto$       & $10^{2}$      &
		$c$       & $Zenti$       & $10^{-2}$     \\
		\hline
		$da$      & $Deka$        & $10^{1}$      &
		$d$       & $Dezi$        & $10^{-1}$     \\
    \hline
	\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols*}

\setcounter{secnumdepth}{2}
\end{document}
